Jak obliczyć średnią prędkość autostopowicza? Zadanie krok po kroku

Prędkość średnia to jeden z najważniejszych tematów w dziale kinematyka i bardzo częsty typ zadania z fizyki. Takie przykłady dobrze przygotowują do matury rozszerzonej z fizyki, bo sprawdzają nie tylko znajomość wzorów, ale też umiejętność poprawnego liczenia całkowitego czasu ruchu i analizowania kilku etapów drogi.

W tym artykule pokazuję, jak obliczyć prędkość średnią krok po kroku na konkretnym zadaniu. Zobaczysz pełne rozwiązanie, najważniejsze wzory, typowe błędy oraz schemat, który można wykorzystać także w innych zadaniach z prędkości średniej i ruchu jednostajnego prostoliniowego.

Jeżeli przygotowujesz się do egzaminu i chcesz przerabiać podobne zadania z fizyki krok po kroku, zobacz także korepetycje z fizyki do matury.

Treść zadania

Oblicz średnią prędkość wędrówki autostopowicza, który całą drogę przebył w trzech etapach:

I etap: \(\frac{1}{3}\) drogi samochodem osobowym z prędkością \(v_1 = 60 \, \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\),
II etap: \(\frac{1}{12}\) drogi pieszo z prędkością \(v_2 = 5 \, \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\),
III etap: resztę drogi na przyczepie ciągnika z prędkością \(v_3 = 21 \, \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\).

Dane

Przyjmijmy, że cała droga ma długość \(S\).

\(v_1 = 60 \, \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)
\(v_2 = 5 \, \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)
\(v_3 = 21 \, \frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}\)
\(s_1 = \frac{1}{3}S\)
\(s_2 = \frac{1}{12}S\)
\(s_3 = ?\)

Szukane: \(v_{\mathrm{śr}}\)

Rozwiązanie krok po kroku

Krok 1. Zapisujemy wzór na prędkość średnią

Prędkość średnia to całkowita droga podzielona przez całkowity czas ruchu:

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{S}{t_1+t_2+t_3} \]

To najważniejszy moment w całym zadaniu. Wielu uczniów robi tutaj błąd i liczy średnią arytmetyczną z prędkości 60 km/h, 5 km/h i 21 km/h. Tak nie wolno robić, bo autostopowicz nie poruszał się z tymi prędkościami przez takie same czasy ani na takich samych odcinkach.

Krok 2. Wyznaczamy długość trzeciego etapu

Pierwszy odcinek to \(\frac{1}{3}S\), drugi to \(\frac{1}{12}S\), więc trzeci odcinek jest resztą całej drogi:

\[ s_3=S-\frac{1}{3}S-\frac{1}{12}S \]

Sprowadzamy ułamki do wspólnego mianownika:

\[ s_3=\frac{12}{12}S-\frac{4}{12}S-\frac{1}{12}S=\frac{7}{12}S \]

Zatem:

\[ s_3=\frac{7}{12}S \]

Krok 3. Liczymy czas każdego etapu

Korzystamy ze wzoru na ruch jednostajny:

\[ s=vt \]

Po przekształceniu:

\[ t=\frac{s}{v} \]

Czas pierwszego etapu:

\[ t_1=\frac{s_1}{v_1}=\frac{\frac{1}{3}S}{v_1}=\frac{S}{3v_1} \]

Czas drugiego etapu:

\[ t_2=\frac{s_2}{v_2}=\frac{\frac{1}{12}S}{v_2}=\frac{S}{12v_2} \]

Czas trzeciego etapu:

\[ t_3=\frac{s_3}{v_3}=\frac{\frac{7}{12}S}{v_3}=\frac{7S}{12v_3} \]

Krok 4. Podstawiamy czasy do wzoru głównego

Podstawiamy wszystko do wzoru na średnią prędkość:

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{S}{\frac{S}{3v_1}+\frac{S}{12v_2}+\frac{7S}{12v_3}} \]

Wyłączamy \(S\) przed nawias w mianowniku i skracamy:

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{1}{\frac{1}{3v_1}+\frac{1}{12v_2}+\frac{7}{12v_3}} \]

Krok 5. Sprowadzamy wyrażenie do wspólnego mianownika

Wspólnym mianownikiem będzie \(12v_1v_2v_3\). Otrzymujemy:

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{12v_1v_2v_3}{4v_2v_3+v_1v_3+7v_1v_2} \]

Krok 6. Podstawiamy dane liczbowe

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{12\cdot 60\cdot 5\cdot 21}{4\cdot 5\cdot 21+60\cdot 21+7\cdot 60\cdot 5}\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \]

Liczymy licznik:

\[ 12\cdot 60\cdot 5\cdot 21=75600 \]

Liczymy mianownik:

\[ 4\cdot 5\cdot 21+60\cdot 21+7\cdot 60\cdot 5=420+1260+2100=3780 \]

Ostatecznie:

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{75600}{3780}\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}}=20\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \]

Odpowiedź

Średnia prędkość autostopowicza wynosi:

\[ v_{\mathrm{śr}}=20\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \]

Objaśnienie użytych praw i wzorów

W tym zadaniu korzystamy z dwóch podstawowych zależności:

definicji prędkości średniej,
wzoru na ruch jednostajny: \(s=vt\).

Najważniejsza idea jest taka, że średnia prędkość nie zależy od tego, ile różnych prędkości pojawia się w zadaniu, ale od całkowitej drogi i całkowitego czasu. Dlatego trzeba osobno obliczyć czas każdego etapu, a dopiero na końcu wszystko zsumować.

Schemat rozwiązywania takich zadań

Oznacz całą drogę jako \(S\).
Rozpisz, jaka część drogi przypada na każdy etap ruchu.
Jeżeli w treści pojawia się „reszta drogi”, oblicz ją przez odjęcie od całości.
Dla każdego etapu policz czas ze wzoru:
\[ t=\frac{s}{v} \]
Zsumuj wszystkie czasy:
\[ t_{\mathrm{całk}}=t_1+t_2+t_3 \]
Podstaw do wzoru:
\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{s_{\mathrm{całk}}}{t_{\mathrm{całk}}} \]
Sprawdź jednostkę i oceń, czy wynik ma sens fizyczny.

To bardzo dobry schemat do zadań z działu kinematyka. Jeśli chcesz regularnie ćwiczyć podobne zadania z fizyki i przygotowywać się do matury rozszerzonej krok po kroku, zajrzyj też na stronę korepetycji z fizyki do matury.

Najważniejsze wzory

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{s_{\mathrm{całk}}}{t_{\mathrm{całk}}} \]

\[ s=vt \]

\[ t=\frac{s}{v} \]

\[ s_3=S-s_1-s_2 \]

\[ v_{\mathrm{śr}}=\frac{12v_1v_2v_3}{4v_2v_3+v_1v_3+7v_1v_2} \]

Najczęstsze błędy

Liczenie średniej arytmetycznej prędkości. To najczęstszy błąd. W tym zadaniu nie wolno liczyć \(\frac{60+5+21}{3}\).
Pominięcie trzeciego odcinka. Trzeba zauważyć, że trzeci etap to reszta drogi, czyli \(\frac{7}{12}S\).
Brak obliczenia czasów pośrednich. Średnia prędkość wymaga całkowitego czasu, więc każdy etap trzeba przeanalizować osobno.
Błędy rachunkowe przy ułamkach. Uczniowie często źle sprowadzają \(\frac{1}{3}\) i \(\frac{1}{12}\) do wspólnego mianownika.
Niepilnowanie jednostek. W zadaniach maturalnych zawsze warto sprawdzić, czy wynik końcowy jest zapisany w poprawnej jednostce.

Dlaczego ten typ zadania jest ważny na maturze?

Zadania z prędkości średniej uczą nie tylko podstawowych wzorów, ale też logicznego myślenia. Uczeń musi poprawnie rozbić całą drogę na etapy, policzyć czasy i dopiero wtedy przejść do końcowego wyniku. To dokładnie ten rodzaj rozumowania, który przydaje się na maturze rozszerzonej z fizyki.

Takie zadania sprawdzają jednocześnie:

rozumienie definicji prędkości średniej,
umiejętność pracy z ułamkami,
stosowanie wzoru \(s=vt\),
poprawne prowadzenie obliczeń krok po kroku.

Jeżeli chcesz opanować nie tylko ten jeden typ zadania, ale cały dział kinematyki i mechaniki pod maturę, sprawdź również przygotowanie do matury z fizyki.

FAQ

Czy średnią prędkość zawsze liczy się ze wzoru droga przez czas?

Tak. Definicja prędkości średniej to zawsze całkowita droga podzielona przez całkowity czas ruchu. Trzeba tylko uważać, aby poprawnie policzyć cały czas.

Dlaczego nie można wziąć średniej z 60 km/h, 5 km/h i 21 km/h?

Bo autostopowicz nie poruszał się z tymi prędkościami przez jednakowe odcinki ani przez jednakowe czasy. Zwykła średnia arytmetyczna nie opisuje takiej sytuacji.

Po co oznaczamy całą drogę literą S?

Bo zadanie nie podaje długości całkowitej drogi. Dzięki oznaczeniu \(S\) można wszystko rozpisać symbolicznie, a na końcu ta wielkość i tak się skraca.

Skąd wiadomo, że trzeci odcinek to \(\frac{7}{12}S\)?

Od całej drogi odejmujemy pierwszy i drugi etap:

\[ S-\frac{1}{3}S-\frac{1}{12}S=\frac{7}{12}S \]

Zobacz też

Podsumowanie

W tym zadaniu najważniejsze było poprawne zapisanie długości poszczególnych etapów, wyznaczenie czasu każdego z nich i skorzystanie z definicji prędkości średniej. Po uporządkowaniu danych wynik otrzymujemy bez większego problemu:

\[ v_{\mathrm{śr}}=20\,\frac{\mathrm{km}}{\mathrm{h}} \]

To bardzo dobry przykład zadania do powtórki przed maturą z fizyki, bo uczy dokładności, pracy z ułamkami i poprawnego rozumienia pojęcia prędkości średniej.