Względność ruchu – statek na rzece krok po kroku

Zadania ze względności ruchu często sprawiają trudność uczniom przygotowującym się do matury z fizyki, ponieważ wymagają poprawnego ustalenia, względem czego mierzona jest prędkość. W takich przykładach kluczowe jest rozróżnienie prędkości statku względem wody i prędkości statku względem brzegu.

Dobra wiadomość jest taka, że po opanowaniu kilku prostych zasad zadania tego typu stają się bardzo schematyczne. W tym artykule pokażę krok po kroku, jak rozwiązać klasyczne zadanie o statku płynącym po rzece – zarówno w układzie odniesienia związanym z brzegiem, jak i w układzie odniesienia związanym z wodą.

Treść zadania

Statek płynie z prądem rzeki z przystani A do przystani B oddalonej o \( s = 600\ \text{m} \) z prędkością \( v_1 = 3\ \text{m/s} \) względem wody. Prędkość prądu rzeki wynosi \( v_2 = 1\ \text{m/s} \). Oblicz czas rejsu z przystani A do przystani B oraz z przystani B do przystani A. Zadanie rozwiąż w układzie odniesienia związanym z brzegiem oraz w układzie odniesienia związanym z wodą.

Dane

\[ s = 600\ \text{m} \]

\[ v_1 = 3\ \text{m/s} \]

\[ v_2 = 1\ \text{m/s} \]

\[ t_1 - ? \quad \text{(czas z A do B)} \]

\[ t_2 - ? \quad \text{(czas z B do A)} \]

Co oznaczają prędkości w tym zadaniu?

Prędkość \( v_1 = 3\ \text{m/s} \) to prędkość statku względem wody. Oznacza to, że gdyby woda była nieruchoma, statek poruszałby się właśnie z taką prędkością.

Prędkość \( v_2 = 1\ \text{m/s} \) to prędkość prądu rzeki względem brzegu. Gdy statek płynie z prądem, nurt pomaga mu w ruchu, więc prędkości się dodają. Gdy statek płynie pod prąd, nurt działa przeciwnie do ruchu statku, więc prędkości się odejmują.

Rozwiązanie w układzie odniesienia związanym z brzegiem

Rejs z A do B – statek płynie z prądem

Rys. 1. Rozkład prędkości w układzie odniesienia związanym z brzegiem – rejs z A do B

W układzie odniesienia związanym z brzegiem prędkość statku względem brzegu jest sumą prędkości statku względem wody oraz prędkości prądu:

\[ v = v_1 + v_2 \]

\[ v = 3\ \text{m/s} + 1\ \text{m/s} = 4\ \text{m/s} \]

Korzystamy teraz ze wzoru na czas ruchu:

\[ t_1 = \frac{s}{v} \]

\[ t_1 = \frac{600}{4}\ \text{s} = 150\ \text{s} \]

Rejs z B do A – statek płynie pod prąd

Rys. 2. Rozkład prędkości w układzie odniesienia związanym z brzegiem – rejs z B do A

Gdy statek płynie pod prąd, jego prędkość względem brzegu jest różnicą prędkości:

\[ v = v_1 - v_2 \]

\[ v = 3\ \text{m/s} - 1\ \text{m/s} = 2\ \text{m/s} \]

Ponownie korzystamy ze wzoru na czas:

\[ t_2 = \frac{s}{v} \]

\[ t_2 = \frac{600}{2}\ \text{s} = 300\ \text{s} \]

Rozwiązanie w układzie odniesienia związanym z wodą

W tym układzie odniesienia to woda pozostaje w spoczynku, a statek porusza się z prędkością \( v_1 = 3\ \text{m/s} \). Natomiast brzeg i przystanie poruszają się względem wody z prędkością \( v_2 = 1\ \text{m/s} \) w przeciwną stronę.

Rejs z A do B

Rys. 3. Rozkład prędkości w układzie odniesienia związanym z wodą – rejs z A do B

W czasie \( t_1 \) statek pokonuje drogę:

\[ x_1 = v_1 t_1 \]

W tym samym czasie przystań B „przesuwa się” względem statku o drogę:

\[ x_2 = v_2 t_1 \]

Ponieważ statek i przystań B zbliżają się do siebie, całkowita odległość spełnia zależność:

\[ s = x_1 + x_2 \]

\[ s = v_1 t_1 + v_2 t_1 \]

\[ s = t_1 (v_1 + v_2) \]

Stąd:

\[ t_1 = \frac{s}{v_1 + v_2} \]

\[ t_1 = \frac{600}{3 + 1}\ \text{s} = 150\ \text{s} \]

Rejs z B do A

Rys. 4. Rozkład prędkości w układzie odniesienia związanym z wodą – rejs z B do A

Podczas ruchu pod prąd sytuacja wygląda inaczej: statek płynie w stronę przystani A, ale sama przystań A „ucieka” względem wody z prędkością \( v_2 \).

W czasie \( t_2 \) statek pokonuje drogę:

\[ x_1 = v_1 t_2 \]

W tym samym czasie przystań A przesuwa się o:

\[ x_2 = v_2 t_2 \]

W tym przypadku statek musi pokonać nie tylko początkową odległość \( s \), ale również dodatkową drogę wynikającą z ruchu przystani:

\[ x_1 = s + x_2 \]

\[ v_1 t_2 = s + v_2 t_2 \]

\[ v_1 t_2 - v_2 t_2 = s \]

\[ t_2 (v_1 - v_2) = s \]

Stąd:

\[ t_2 = \frac{s}{v_1 - v_2} \]

\[ t_2 = \frac{600}{3 - 1}\ \text{s} = 300\ \text{s} \]

Odpowiedź

Czas rejsu z A do B wynosi:

\[ t_1 = 150\ \text{s} \]

Czas rejsu z B do A wynosi:

\[ t_2 = 300\ \text{s} \]

W obu układach odniesienia otrzymujemy te same wyniki, chociaż opis ruchu wygląda inaczej. To bardzo ważny wniosek w zadaniach dotyczących względności ruchu.

---

Schemat rozwiązywania takich zadań

1. Sprawdź, względem czego podana jest każda prędkość.
2. Ustal, czy ciało porusza się z prądem, czy pod prąd.
3. W układzie związanym z brzegiem dodaj lub odejmij prędkości.
4. W układzie związanym z wodą opisz osobno ruch statku i ruch przystani.
5. Zastosuj wzór \( t = \frac{s}{v} \) albo odpowiednie równanie drogi.
6. Porównaj wyniki otrzymane w obu metodach.

Najważniejsze wzory

\[ v_{\text{z prądem}} = v_1 + v_2 \]

\[ v_{\text{pod prąd}} = v_1 - v_2 \]

\[ t = \frac{s}{v} \]

\[ s = vt \]

Najczęstsze błędy

• dodawanie prędkości wtedy, gdy statek płynie pod prąd,
• odejmowanie prędkości wtedy, gdy statek płynie z prądem,
• nieuwzględnienie, że \( v_1 \) jest prędkością względem wody, a nie względem brzegu,
• mechaniczne stosowanie jednego wzoru bez analizy układu odniesienia,
• brak zrozumienia, dlaczego w dwóch różnych układach odniesienia otrzymujemy ten sam czas.

Dlaczego ten typ zadania jest ważny na maturze z fizyki?

Zadania o statku na rzece uczą poprawnego rozumienia względności ruchu, czyli jednej z podstawowych idei kinematyki. Sprawdzają, czy uczeń potrafi odróżnić prędkość względem jednego układu odniesienia od prędkości względem innego.

Tego typu zadania są bardzo wartościowe, ponieważ nie wymagają skomplikowanej matematyki, a jednocześnie sprawdzają rzeczywiste rozumienie fizyki. Dlatego często pojawiają się w nauce do matury, w zbiorach zadań i na sprawdzianach z kinematyki.

Więcej podobnych materiałów znajdziesz w dziale Mechanika. Jeżeli chcesz nauczyć się rozwiązywać zadania z fizyki krok po kroku, zobacz także korepetycje z fizyki do matury.

FAQ – względność ruchu i statek na rzece

Kiedy prędkości dodajemy, a kiedy odejmujemy?

Prędkości dodajemy wtedy, gdy statek płynie z prądem, ponieważ nurt pomaga mu w ruchu. Odejmujemy je wtedy, gdy statek płynie pod prąd, ponieważ nurt działa przeciwnie do ruchu statku.

Dlaczego w dwóch różnych układach odniesienia wychodzi ten sam czas?

Ponieważ opisujemy to samo zjawisko fizyczne. Zmienia się jedynie sposób opisu ruchu, ale rzeczywisty czas przepłynięcia między przystaniami pozostaje taki sam.

Co oznacza prędkość statku względem wody?

To prędkość, z jaką statek poruszałby się, gdyby woda była nieruchoma. Nie jest to jeszcze prędkość względem brzegu.

Jak rozpoznać układ odniesienia w zadaniu?

Trzeba sprawdzić, względem czego opisana jest prędkość: brzegu, wody, ziemi, pociągu, samolotu albo innego poruszającego się obiektu. To pierwszy krok do poprawnego rozwiązania zadania.